Upologistikˆ Zht mata se Sumbibastikèc YhfoforÐec

Transcript

1 Panepisthmio Patrwn - Poluteqnikh Sqolh Tm ma Mhqanik n Hlektronik n Upologist n kai Plhroforik c Upologistikˆ Zht mata se Sumbibastikèc YhfoforÐec Dhmhtrioc Kalaðtzhc Diplwmatik ErgasÐa sto plaðsio tou MetaptuqiakoÔ Dipl matoc EidÐkeushc Epist mh kai TeqnologÐa twn Upologist n Trimelhc Epitroph: Qrhstoc Kaklamanhc, Kajhghthc (Epiblepwn) Pauloc Spurakhc, Kajhghthc Iwannhc Karagiannhc, Lektorac Pˆtra, Okt brioc 2010

2 2

3 Perieqìmena PerÐlhyh 3 1 Eisagwg 5 2 Upologistikˆ Zht mata SumbolismoÐ kai orismoð ProseggistikoÐ Algìrijmoi Algìrijmoi topik c anaz thshc Anjektikìthta se qeirag ghsh Qeirag ghsh apì ènan yhfofìro Qeirag ghsh apì omˆdec yhfofìrwn Suz thsh 25 BibliografÐa 26

4

5 PerÐlhyh Sthn ergasða aut asqoloômaste me jèmata koinwnik c epilog c kai pio sugkekrimèna me sumbibastikèc yhfoforðec stic opoðec kˆje yhfofìroc yhfðzei èna (pijanìn kenì) sônolo upoyhfðwn kai to apotèlesma eðnai èna sônolo upoyhfðwn pl jouc k, gia dedomèno k (p.q. eklog epitrop c). Exetˆzoume ton kanìna minimax se sumbibastikèc yhfoforðec, stic opoðec to apotèlesma antiproswpeôei èna sumbibasmì metaxô twn protim sewn twn yhfofìrwn, me thn ènnoia ìti h mègisth apìstash metaxô twn protim sewn opoioud - pote yhfofìrou kai tou apotelèsmatoc eðnai ìso to dunatì mikrìterh. Autìc o kanìnac èqei dôo meionekt mata. Pr ton, o upologismìc tou apotelèsmatoc pou elaqistopoieð th mègisth apìstash apì kˆje yhfofìro eðnai èna upologistikˆ dôskolo prìblhma kai deôteron, opoiosd pote algìrijmoc pou pˆnta epistrèfei èna tètoio apotèlesma, dðnei s- touc yhfofìrouc kðnhtro na poun yèmata gia thn pragmatik touc protðmhsh, me skopì na belti soun thn apìstash touc apì to telikì apotèlesma. Gia na xeperˆsoume autˆ ta meionekt mata qrhsimopoioôme proseggistikoôc algorðjmouc, dhlad algorðjmouc pou parˆgoun apotèlesma pou apodedeigmèna proseggðzei thn minimax apìstash gia kˆje dosmèno stigmiìtupo. Tètoioi algìrijmoi mporoôn na qrhsimopoihjoôn san enallaktikoð kanìnec yhfoforðac. Parousiˆzoume èna 2-proseggistikì algìrijmo poluwnumikoô qrìnou, o opoðoc upologðzei to apotèlesma stroggulopoi ntac nteterministikˆ th lôsh tou qalarwmènou grammikoô progrˆmmatoc mèsw tou opoðou ekfrˆzoume to prìblhmˆ mac. O kalôteroc prohgoômenoc proseggistikìc algìrijmoc epitôgqane lìgo apìdoshc 3 kai sunep c to parapˆnw apotèlesma apoteleð shmantik beltðwsh. Epiplèon asqoloômaste me proseggistikoôc algorðjmouc pou eðnai anjektikoð se qeirag ghsh eðte apì memonwmènouc yhfofìrouc eðte apì omˆdec yhfofìrwn. Tètoioi algìrijmoi den prosfèroun kðnhtro stouc yhfofìrouc na dhl soun yeud c tic protim seic touc me skopì na belti soun thn apìstas touc apì to telikì apotèlesma. Mia tètoia melèth entˆssetai sta plaðsia thc èreunac pou gðnetai ta teleutaða qrìnia pˆnw sto sqediasmì proseggistik n algorijmik n mhqanism n qwrðc qr mata. Sumplhr noume prohgoômena apotelèsmata me nèa pˆnw kai kˆtw frˆgmata gia strategyproof kai group-strategyproof algorðjmouc. 3

6

7 Kefˆlaio 1 Eisagwg Oi sumbibastikèc yhfoforðec eðnai arketˆ dhmofileðc kai qrhsimopoioôntai kurðwc se eklogèc epitrop n [2]. Se autèc tic yhfoforðec, oi yhfofìroi mporoôn na epilèxoun ìsouc upoy fiouc jèloun. Tic treic teleutaðec dekaetðec pollèc episthmonikèc koinìthtec kai organismoð uiojèthsan sumbibastikèc yhfoforðec gia tic eklogèc twn proedreðwn touc. O kanìnac epilog c sqedìn se ìlec autèc tic eklogèc eðnai o minisum, me bˆsh ton opoðo eklègetai h epitrop h opoða an thn doôme san èna duadikì diˆnusma, elaqistopoieð th sunolik apìstash katˆ Hamming apì ìla ta yhfodèltia. Se olìklhrh thn ergasða mac, upojètoume ìti h epitrop h opoða jèloume na eklèxoume ja èqei prokajorismèno mègejoc, èstw k. Tìte h minisum lôsh apoteleðtai apì touc k upoy fiouc me ton megalôtero arijmì y fwn apodoq c. Mia tètoia lôsh mporeð parìla autˆ na agnoeð tic protim seic orismènwn yhfofìrwn se kˆpoia stigmiìtupa kai den lambˆnei kajìlou up' ìyin thc jèma dikaiosônhc. Gia na exhg soume kalôtera to parapˆnw, ac doôme èna parˆdeigma me tèsseric yhfofìrouc, pènte upoy fiouc kai k = 2. Kˆje seirˆ antiproswpeôei tic protim seic tou antðstoiqou yhfofìrou. H minisum lôsh perièqei touc upoyhfðouc {a, b}. Oi katˆ Hamming apostˆseic twn yhfofìrwn apì autì to apotèlesma eðnai 1, 0, 2 kai 5 antðstoiqa. Antijètwc h lôsh {a, c} dðnei apostˆseic 3, 2, 2 kai 3 kai sunep c apoteleð èna kalôtero sumbibasmì anˆmesa stouc yhfofìrouc afoô ìloi eðnai sqetikˆ kontˆ sto apotèlesma. a b c d e Prìsfata diatup jhke ènac nèoc kanìnac me skopì na epitugqˆnetai kalôteroc sumbibas- 5

8 mìc metaxô twn protim sewn twn yhfofìrwn [3]. O kanìnac minimax, epilègei touc k upoyhfðouc ètsi ste h mègisth Hamming apìstash kˆje yhfofìrou apì to apotèlesma na elaqistopoieðtai. Miac kai o kanìnac autìc mikraðnei thn apìstash twn ligìtero euqaristhmènwn yhfofìrwn, teðnei na katal gei se apotelèsmata pou eðnai pio eurèwc apodektˆ. Apì thn ˆllh, o kanìnac minimax èqei dôo basikˆ meionekt mata pou apotrèpoun thn eureða qr sh tou: a) to prìblhma tou upologismoô thc minimax lôshc eðnai upologistikˆ dôskolo [5] kai b) oi yhfofìroi èqoun kðnhtro na dhl soun yeud c tic protim seic touc me skopì na belti soun thn apìstas twn pragmatik n touc protim sewn apì to telikì apotèlesma. O skopìc thc ergasðac aut c eðnai na antimetwpðsei autˆ ta probl mata me th qr sh proseggistik n algorðjmwn. Oi proseggistikoð algìrijmoi antimetwpðzoun thn upologistik duskolða problhmˆtwn beltistopoðhshc, prosfèrontac se poluwnumikì qrìno lôseic polô kontˆ stic bèltistec gia kˆje stigmiìtupo enìc probl matoc [12]. EmeÐc anaferìmaste sto prìblhma beltistopoðhshc tou upologismoô thc minimax lôshc wc k-minimax approval. Oi LeGrand kai ˆlloi [6] parousðasan èna 3-proseggistikì algìrijmo gia to prìblhma: dedomènou enìc stigmiìtupou, o algìrijmoc parˆgei mða lôsh tètoia ste h apìstash apì kˆje yhfofìro na eðnai to polô treic forèc aut thc bèltisthc lôshc. O algìrijmoc eðnai polô aplì na perigrafeð kai ja anaferìmaste se autìn san k-sumpl rwma: dialègei tuqaða èna yhfofìro kai upologðzei èna sônolo apì k upoy fiouc pou èqei elˆqisth apìstash apì ton sugkekrimèno yhfofìro. 'Ena profanèc anoiktì er thma eðnai an upˆrqei algìrijmoc me kalôtero lìgo prosèggishc. Mia akìmh endiafèrousa er thsh eðnai an upˆrqei kˆpoioc mh diktatorikìc algìrijmoc pou na parˆgei mða kal prosèggish. Se autì to shmeðo, axðzei na shmeiwjeð ìti o k-sumpl rwma eðnai diktatorikìc algìrijmoc afoô basðzetai mìno stic protim seic enìc yhfofìrou. To jèma thc anjektikìthtac se qeirag ghsh èqei kurðarqh jèsh sto ereunhtikì pedðo tou SqediasmoÔ Mhqanism n (Mechanism Design [9]). Sta plaðsia thc ergasðac mac, anafèretai se algìrijmouc gia to prìblhma k-minimax approval oi opoðoi, dojèntoc enìc profðl, upologðzoun mia proseggistik lôsh me trìpo tètoio ste kanènac yhfofìroc, mìnoc tou se sumfwnða me ˆllouc, den èqei kðnhtro na pei yèmata gia thn pragmatik tou protðmhsh me skopì na belti sei thn apìstas tou apì to telikì apotèlesma. Oi idiìthtec thc anjektikìthtac sth qeirag ghsh apì èna memonwmèno yhfofìro kai apì omˆdec yhfofìrwn onomˆzontai strategyproofness kai group-strategyproofness antðstoiqa. Oi LeGrand kai ˆlloi [6] apèdeixan ìti h minimax lôsh den eðnai anjektik se qeirag ghsh antðjeta me th lôsh tou k-sumplhr matoc. Epiplèon, jètoun to er thma tou upologismoô 6

9 tou kalôterou dunatoô frˆgmatoc gia to lìgo apìdoshc algorðjmwn pou eðnai anjektikoð se qeirag ghsh. Mia tètoia er thsh entˆssetai sta plaðsia thc èreunac proseggistik c sqedðashc mhqanism n qwrðc qr mata [10, 11]. Se aut thn ergasða, shmei noume prìodo se dôo kateujônseic 1. 'Oson aforˆ sthn dunatìthta prosèggishc tou probl matoc k-minimax approval apì algorðjmouc poluwnumikoô qrìnou, pr ta egkajidrôoume mia sqèsh metaxô thc idiìthtac thc apodotikìthtac katˆ Pareto kai tou mikroô lìgou prosèggishc. San sunèpeia, paðrnoume ìti o algìrijmoc minisum èqei lìgo prosèggishc to polô 3 2. To pio isqurì mac apotèlesma k+1 se aut thn kateôjunsh eðnai èna algìrijmoc basismènoc se grammikì programmatismì pou epitugqˆnei beltiwmèno lìgo apìdoshc Ðso me 2, kai apoteleð shmantik beltðwsh se sqèsh me ta prohgoômena apotelèsmata twn LeGrand kai ˆllwn [6]. O algìrijmoc basðzetai sth stroggulopoðhsh thc klasmatik c lôshc enìc qalarwmènou grammikoô progrˆmmatoc gia to prìblhma k-minimax approval. To apotèlesma eðnai to kalôtero dunatì pou mporoôme na pˆroume apì to sugkekrimèno grammikì prìgramma, miac kai deðqnoume ìti èqei integrality gap Ðso me 2. EpÐshc meletˆme mia kathgorða algorðjmwn topik c anaz thshc pou èqoun protajeð sthn ergasða [6] kai apodeiknôoume èna kˆtw frˆgma gia ton lìgo apìdos c touc. Sthn kateôjunsh thc anjektikìthtac sth qeirag ghsh, parathroôme ìti mia parallag tou algorðjmou minisum eðnai strategyproof kai parousiˆzoume mia apodotik katˆ Pareto beltðwsh tou algorðjmou k-sumplhr matoc. ExaitÐac thc apodotikìthtac katˆ Pareto, o teleutaðoc autìc algìrijmoc èqei epðshc lìgo prosèggishc 3 2. Parousiˆzoume epðshc èna pr to apotèlesma mh-proseggisimìthtac gia algorðjmouc pou eðnai anjektikoð k+1 se qeirag ghsh, kˆnontac prìodo sthn er thsh pou tèjhke apì touc LeGrand kai ˆllouc [6]. Poio sugkekrimèna, parousiˆzoume èna kˆtw frˆgma Ðso me 2 2 gia opoiond - k+1 pote strategyproof algìrijmo kai èna arnhtikì apotèlesma pou dhl nei ìti isqurìtero group-strategyproofness den mporeð na epiteuqjeð apì algìrijmouc me lìgo prosèggishc diaforetikì apì 3 2 kai ˆpeiro. k+1 H sunèqeia thc ergasðac domeðtai wc ex c. Parousiˆzoume ta apotelèsmatˆ mac sqetikˆ me proseggistikoôc algorðjmouc gia to prìblhma k-minimax approval sto kefˆlaio 2 kai ta apotelèsmata sqetikˆ me algorðjmouc pou eðnai anjektikoð sth qeirag gish apì touc yhfofìrouc sto kefˆlaio 3. KleÐnoume thn ergasða me mia sôntomh suz thsh kai parˆjesh anoikt n problhmˆtwn sto kefˆlaio 4. 1 Ενα υποσύνολο των αποτελεσμάτων της εργασίας θα εμφανιστούν στην εργασία [4]. 7

10 8

11 Kefˆlaio 2 Upologistikˆ Zht mata 2.1 SumbolismoÐ kai orismoð OrÐzoume pr ta touc sumbolismoôc pou ja qrhsimopoioôme. Me n sumbolðzoume to pl joc twn yhfofìrwn kai me m to pl joc twn upoyhfðwn. To sônolo twn upoyhfðwn ja sumbolðzetai me A. H y foc enìc yhfofìrou eðnai sunep c èna uposônolo tou A. 'Ena profðl P eðnai mia pleiˆda P = (P 1, P 2,...P n ) ìpou to P i sumbolðzei thn y fo tou yhfofìrou i, dhlad to sônolo twn upoyhfðwn pou egkrðnei. Se ìlh thn ergasða, kˆnoume thn logik upìjesh ìti n > k. 'Otan autì den dhl netai rhtˆ (p.q. stic apodeðxeic kˆtw fragmˆtwn), mporoôme na sumplhr noume to profðl prosjètontac adiˆforouc yhfofìrouc pou den egkrðnoun kanèna upoy fio. EpekteÐnoume ton orismì thc apìstashc katˆ Hamming metaxô uposunìlwn tou A wc ex c. Lème ìti h apìstash dôo sunìlwn Q, T eðnai Ðsh me ton sunolikì arijmì upoyhfðwn stouc opoðouc diafèroun: d(q, T ) = Q\T + T \Q = Q + T 2 Q T. Shmei ste ìti aut eðnai akrib c h apìstash katˆ Hamming metaxô dôo sunìlwn, an ta jewr soume duadikˆ dianôsmata twn opoðwn h i-ost suntetagmènh kˆje dianôsmatoc isoôtai me 1 an o i-ostìc upoy fioc an kei sto sônolo (en eðnai Ðsh me 0, diaforetikˆ). 2.2 ProseggistikoÐ Algìrijmoi Xekinˆme thn parousðash twn apotelesmˆtwn mac dhmiourg ntac mia susqètish metaxô thc apodotikìthtac katˆ Pareto kai tou qamhloô lìgou prosèggishc. Orismìc 1. Dojèntoc enìc profðl P, èna sônolo K A megèjouc k eðnai apodotikì katˆ Pareto se sqèsh me to P an den upˆrqei ˆllo sônolo K A megèjouc k tètoio 9

12 ste na isqôei d(k, P i ) < d(k, P i ) gia kˆpoion yhfofìro i kai d(k, P i ) d(k, P i ) gia opoiond pote ˆllo yhfofìro i. 'Enac algìrijmoc gia to prìblhma k-minimax approval eðnai apodotikìc katˆ Pareto an, me eðsodo opoiod pote profðl P, to apotèlesmˆ tou eðnai apodotikì katˆ Pareto se sqèsh me to P. To epìmeno l mma epekteðnei shmantikˆ thn klˆsh twn 3-proseggistik n algorðjmwn gia to prìblhma k-minimax approval kai ja mac faneð polô qr simo argìtera. EÐnai shmantikì na shmei soume ìti o algìrijmoc minisum eðnai apodotikìc katˆ Pareto. Autì apodeiknôetai apì ton orismì thc apodotikìthtac katˆ Pareto kai to gegonìc ìti o algìrijmoc minisum elaqistopoieð to ˆjroisma twn apostˆsewn tou apotelèsmatoc apì touc yhfofìrouc. L mma 1. Opoiosd pote apodotikìc katˆ Pareto algìrijmoc gia to prìblhma k-minimax approval èqei lìgo prosèggishc to polô 3 2 k+1. Apìdeixh. 'Estw P èna profðl kai O kai K h minimax lôsh kai to apotèlesma pou epistrèfetai apì èna mh-bèltisto apodotikì katˆ Pareto algìrijmo me eðsodo P. 'Estw OP T = max i {d(o, P i }. Ja deðxoume ìti d(k, P i )/OP T 3 2 k+1 i. Pr ta upojètoume ìti OP T k + 1. paðrnoume gia kˆje yhfofìro Tìte efarmìzontac thn trigwnik anisìthta d(k, P i ) OP T d(k, O) + d(o, P i) OP T 1 + 2k OP T 3 2 k + 1 gia kˆje yhfofìro i. H deôterh anisìthta isqôei afoô h apìstash metaxô dôo opoiwnd - pote sunìlwn megèjouc k eðnai to polô 2k kai d(o, P i ) OP T. T ra, ac upojèsoume ìti OP T < k+1. Apì th stigm pou h lôsh pou epistrèfetai apì ton algìrijmo den eðnai bèltisth gia to sugkekrimèno profðl P, upˆrqei èna yhfofìroc i tètoioc ste d(k, P i ) < d(o, P i ). Autì isqôei giatð se antðjeth perðptwsh to K den ja tan apodotikì katˆ Pareto se sqèsh me to P. Apì ton orismì aut c thc apìstashc Hamming parathroôme ìti h apìstash d(k, P i ) èqei thn Ðdia isotimða me thn d(o, P i ) kai to parapˆnw epiqeðrhma deðqnei ìti d(k, P i ) d(o, P i ) 2. 10

13 Kˆnontac qr sh aut thc parat rhshc kai efarmìzontac thn trigwnik anisìthta dôo forèc, paðrnoume gia kˆje yhfofìro i. d(k, P i ) OP T d(k, P i ) + d(p i, P i) OP T d(k, P i ) + d(o, P i ) + d(o, P i) OP T 2d(O, P i ) + d(o, P i) 2 OP T 3 2 OP T < 3 2 k + 1 Sth sunèqeia, parousiˆzoume ènan algìrijmo basismèno se grammikì programmatismì. Me eðsodo èna profðl P, o algìrijmoc qrhsimopoieð to akìloujo isodônamo grammikì prìgramma gia ton upologismì tou apotelèsmatoc sto prìblhma k-minimax approval. minimize q subject to: i N, q + 2 x a k + P i a P i x a = k a A a A, x a {0, 1} q 0 H metablht x a paðrnei tim analìgwc eˆn o upoy fioc a perilambˆnetai (x a = 1) ìqi (x a = 0) sth lôsh. O pr toc periorismìc ousiastikˆ frˆssei apì kˆtw thn tim thc metablht c q apì thn mègisth apìstash enìc yhfofìrou apì èna sônolo megèjouc k upoyhfðwn pou sumperilambˆnontai sth lôsh. O algìrijmoc pou proteðnoume lônei thn qalarwmènh èkdosh tou progrˆmmatoc sthn opoða o akèraioc periorismìc gðnetai 0 x a 1. Me aut thn teqnik paðrnoume mia klasmatik lôsh sthn opoða oi metablhtèc paðrnoun timèc sto diˆsthma [0, 1]. Metˆ o algìrijmoc epistrèfei san lôsh touc upoyhfðouc pou antistoiqoôn stic k megalôterec metablhtèc x (epilôontac tic isopalðec me aujaðreto trìpo). Je rhma 1. O algìrijmoc pou basizetai se grammikì programmatismì èqei lìgo prosèggishc to polô Ðso me 2. 11

14 Apìdeixh. Ac doôme pr ta thn efarmog tou algorðjmou pˆnw se èna profðl P. 'Estw (q, x ) h bèltisth klasmatik lôsh tou grammikoô progrˆmmatoc kai K to apotèlesma tou algìrijmou. Ja deðxoume ìti, gia kˆje yhfofìro i, oi protim seic tou P i èqoun apìstash to polô 2q apì to sônolo K. AfoÔ to q apoteleð kˆtw frˆgma gia to kìstoc thc bèltisthc akèraiac lôshc tou sugkekrimènou stigmiìtupou tou k-minimax approval, ja èqoume san apotèlesma to epijumhtì 2-proseggistikì frˆgma. SumbolÐzoume me Y i to sônolo twn upoyhfðwn touc opoðouc egkrðnei o yhfofìroc i kai an koun sto sônolo K, dhlad Y i = P i K. 'Estw j ènac yhfofìroc tou opoðou h y foc P j èqei mègisth apìstash apì to K. Apì ton pr to periorismì tou grammikoô progrˆmmatoc èqoume ìti q k + P j 2 x a a P j kai qrhsimopoi ntac to gegonìc ìti oi metablhtèc x tou grammikoô progrˆmmatoc eðnai fragmènec ek twn ˆnw apì to 1, lìgw tou trðtou periorismoô, paðrnoume ìti q k P j. Parathr ste ìti an Y i = min{k, P j } tìte d(k, P j ) = k P j, dhlad h lôsh tou algìrijmou eðnai bèltisth se aut thn perðptwsh. Gi' autì sto ex c upojètoume ìti Y i > min{k, P j }. Me skopì na katal xoume se ˆtopo, upojètoume ìti d(k, P j ) > 2q. Apì ton orismì thc apìstashc kai tou pr tou periorismoô tou grammikoô progrˆmmatoc, èqoume k + P j 2 Y j > 2q 2(k + P j 2 x a) a P j kai 0 > k + P j + 2 Y j 4 a P j x A. (2.1) AfoÔ kanènac apì touc upoyhfðouc pou an koun sto sônolo P j \Y j den perièqetai sthn telik lôsh, oi metablhtèc x pou antistoiqoôn stouc k Y j upoyhfðouc tou K\Y j den eðnai mikrìterec apì opoiad pote metablht x pou antistoiqeð se upoy fio sto P j \Y j, dhlad gia kˆje upoy fio a sto K\Y j isqôei ìti x a max a P j \Y j {X a }. AjroÐzontac ìlouc touc upoyhfðouc sto K\Y j, èqoume a K\Y j x a (k Y j ) max a P j \Y j {x a } k Y j P j + Y j 12 a P j \Y j x a. (2.2)

15 Apì ton orismì tou sunìlou Y j, èqoume ìti kˆje upoy fioc tou K\Y j an kei epðshc kai sto A\P j. Sunep c a A\P j x a x a. (2.3) a K\Y j EpÐshc qrhsimopoi ntac ton trðto periorismì tou grammikoô progrˆmmatoc, èqoume x a = x a a P j \Y j a P j a Y j x a a P j x a Y j. (2.4) Sunduˆzontac tic sqèseic (2.2), (2.3) kai (2.4) paðrnoume x a k Y j x a Y j (k Y j ). P j Y j P j Y j a A\P j a P j T ra parathreðste ìti to aristerì mèroc thc parapˆnw, lìgw tou deôterou periorismoô tou grammikoô progrˆmmatoc, dðnei Sunep c h parapˆnw anisìthta gðnetai kai isodônama, x a = x a x a = k x a. a A\P j a A a P j a P j k x a k Y j x a Y j (k Y j ), P j Y j P j Y j a P j a P j a P j x a k P j Y j 2 k + P j 2 Y j. (2.5) Tèloc apì tic sqèseic (2.1) kai (2.5) katal goume se ˆtopo: 0 > k + P j + 2 Y j 4 k P j Y j 2 k + P j 2 Y j = (k P j ) 2 k + P j 2 Y j 0. 'Ara, deðxame ìti d(k, P j ) 2q ìpwc kai epijumoôsame. Analogizìmenoi ìti h stroggulopoðhsh ston basismèno se grammikì programmatismì algìrijmo gðnetai me ènan exairetikˆ aplì trìpo, ja elpðzame ìti ènac pio èxupnoc trìpoc stroggulopoðhshc ja èdine akìmh kalôtero apotèlesma. Dustuq c, to sugkekrimèno 13

16 grammikì prìgramma èqei integrality gap Ðso me 2 kai gnwstˆ epiqeir mata apì thn jewrða twn proseggistik n algorðjmwn [12] sunhgoroôn sto ìti autì eðnai to kalôtero dunatì ìrio pou mporeð na epiteuqjeð qrhsimopoi ntac to sugkekrimèno qalarwmèno grammikì prìgramma. L mma 2. To sugkekrimèno grammikì prìgramma èqei integrality gap Ðso me 2. Apìdeixh. Jewr ste èna profðl me toulˆqiston 2k upoyhfðouc kai ac onomˆsoume A èna sônolo upoyhfðwn pl jouc 2k. 'Estw ìti upˆrqoun kai arketoð yhfofìroi ste o kajènac na egkrðnei èna diaforetikì sônolo k upoyhfðwn apì to A. EÐnai profanèc ìti gia opoiod pote sônolo Q megèjouc k, pou eðnai uposônolo tou A, upˆrqei èna yhfofìroc pou den egkrðnei kanèna apì touc upoyhfðouc tou Q. Sunep c h minimax lôsh autoô tou stigmiotôpou èqei kìstoc toulˆqiston 2k. AntÐjeta, h lôsh me tic metablhtèc x na èqoun ìlec tim Ðsh me 1/2 kai q = k ikanopoieð touc periorismoôc tou qalarwmènou grammikoô progrˆmmatoc kai èqei kai kìstoc k. 2.3 Algìrijmoi topik c anaz thshc To apotèlesma sthn ergasða [6] af nei na ennohjeð ìti h klˆsh twn algorðjmwn topik c anaz thshc gia to prìblhma k-minimax approval ja mporoôse na d sei algorðjmouc me sqedìn bèltisto lìgo prosèggishc. 'Enac algìrijmoc topik c anaz thshc pou kˆnei (mèqri) c topikèc allagèc xekinˆ apì mða lôsh (p.q. èna sugkekrimèno sônolo megèjouc k) kai epanalambanìmena episkèptetai geitonikˆ sônola megèjouc k ìso to trèqon sônolo èqei austhrˆ mikrìterh mègisth apìstash apì opoiond pote yhfofìro se sôgkrish me to prohgoômeno sônolo pou episkèfthke. An den upˆrqei tètoio sônolo, o algìrijmoc stamatˆ kai epistrèfei to sônolo pou episkèfthke teleutaðo. San geitoniˆ enìc dedomènou sunìlou megèjouc k jewreðtai apì ton algìrijmoc topik c anaz thshc pou kˆnei (mèqri) c topikèc allagèc ta sônola megèjouc k pou diafèroun apì to trèqon sônolo to polô se c upoy fiouc. An to c eðnai stajerˆ, autìc o algìrijmoc autìc mporeð na ulopoihjeð se poluwnumikì qrìno. Peiramatikˆ apotelèsmata twn LeGrand kai ˆllwn [6] deðqnoun ìti autìc o euretikìc algìrijmoc douleôei polô kalˆ akìmh kai gia mikrèc timèc tou c. To kalôtero apotèlesma pou suzht jhke se aut n thn ergasða epitugqˆnetai ìtan h arqik lôsh eðnai aut pou upologðzei o algìrijmoc minisum. Proc èkplhx mac, to epìmeno je rhma deðqnei ìti upˆrqoun profðl gia ta opoða opoiad pote minisum lôsh eðnai èna topikì bèltisto gia ton sugkekrimèno algìrijmo topik c anaz thshc. Epiplèon se autˆ 14

17 ta profðl, h minisum lôsh èqei lìgo prosèggishc toulˆqiston 3 O(c/k) kai autì eðnai èna kˆtw frˆgma sto lìgo prosèggishc tou algìrijmou pou kˆnei c topikèc allagèc. Je rhma 2. Ac jewr soume èna sônolo m upoyhfðwn kai èstw k m/3. Gia opoiad - pote (stajerˆ) c < k/2 1, upˆrqei èna profðl tètoio ste h minisum lôsh èqei lìgo prosèggishc toulˆqiston 3 4c+6 k+c+2 anaz thshc pou kˆnei (mèqri) c topikèc allagèc kai eðnai èna topikì elˆqisto gia ton algìrijmo topik c Apìdeixh. H kataskeu qrhsimopoieð dôo sônolo upoyhfðwn ( A 1 kai ) A 2 me A 1 = 2k kai k A 2 = k pou den èqoun metaxô touc koinˆ stoiqeða. Upˆrqoun yhfofìroi, o kajènac c apì touc opoðouc egkrðnei touc upoyhfðouc apì to sônolo ( A ) 1 kai èna xeqwristì sônolo k pl jouc c upoyhfðwn apì to A 2. Upˆrqoun epðshc yhfofìroi, o kajènac apì c + 2 touc opoðouc egkrðnei èna xeqwristì sônolo pl jouc c + 2 upoyhfðwn apì to A 2. Parathr ste ìti opoiad pote lôsh pou perièqei k upoyhfðouc apì to sônolo A 1 èqei kìstoc to polô k +c+2. EpÐshc, h lôsh pou perièqei k upoyhfðouc apì to sônolo A ( 2 eðnai ) k minisum lôsh. Prˆgmati, kˆje ènac apì touc upoyhfðouc tou A 1 egkrðnetai apì c yhfofìrouc en kˆje upoy fioc apì to A 2 egkrðnetai apì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k 1 k 1 k c (k c)(k c 1) k + = + > c 1 c + 1 c k k(c + 1) c yhfofìrouc. H teleutaða anisìthta isqôei epeid c < k/2 1. T ra ac jewr soume opoiad pote lôsh thn opoða paðrnoume apì to sônolo A 2 afair ntac opoiod pote sônolo pl jouc p c upoyhfðwn apì to A 2 kai antikajist ntac touc me p upoyhfðouc tou A 1. SÔmfwna me thn kataskeu mac, upˆrqei èna yhfofìroc pou egkrðnei autoôc touc p upoyhfðouc tou sunìlou A 2 kai h apìstas tou apì th nèa lôsh den mei netai. Sunep c,to sônolo A 2 eðnai èna topikì elˆqisto gia ton algìrijmo pou kˆnei c topikèc allagèc. To kìstoc tou eðnai toulˆqiston 3k c kai o lìgo prosèggishc eðnai to polô 3 4c+6 k+c+2. 15

18 16

19 Kefˆlaio 3 Anjektikìthta se qeirag ghsh 3.1 Qeirag ghsh apì ènan yhfofìro Ac orðsoume pr ta thn idiìthta stategyproofness sthn perðptws mac. Dojèntoc en c profðl P kai enìc algorðjmou R, orðzoume me R(P ) to apotèlesma tou algorðjmou me eðsodo to profðl P. OrÐzoume epðshc me P i tic protim seic ìlwn twn yhfofìrwn ektìc tou i. Sunep c, to sônolo P mporeð na grafteð kai wc (P, P i ). Strategyproofness shmaðnei ìti kanènac yhfofìroc i den èqei kðnhtro monomer c na allˆxei tic protim seic tou gia na mei sei thn apìstas tou apì to apotèlesma tou algorðjmou. Orismìc 2. 'Enac algìrijmoc R eðnai strategyproof (SP) an gia kˆje yhfofìro i, gia kˆje profðl P kai gia kˆje P i A isqôei: d(p i, R(P i, P i )) d(p i, R(P i, P i )). Ac xekin soume me èna parˆdeigma pou deðqnei ìti h lôsh minimax den eðnai SP. Jewr ste to profðl pou parousiˆzetai sto dexð pðnaka me k = 2. Se autì to profðl ta sônola {a, b} kai {b, c} eðnai autˆ me apìstash to polô 2 apì ìlouc tou yhfofìrouc. Ac upojèsoume ìti {a, b} eðnai h minimax lôsh pou epistrèfei o algìrijmoc gia to sugkekrimèno profðl. a b c a b c T ra ac upojèsoume ìti o yhfofìroc 2 allˆzei thn protðmhs tou se {c} ìpwc fainetai ston aristerì pðnaka. Tìte to mìno sônolo pou èqei apìstash 2 apì kˆje yhfofìro eðnai 17

20 to {b, c}, dhlad akrib c h y foc tou yhfofìrou 2 sto pr to profðl. Autì deðqnei ìti o yhfofìroc 2 èqei kðnhtro na dhl sei yeud c ìti protimˆei {c} antð gia {b, c} kai sunep c o algìrijmoc pou epistrèfei thn minimax lôsh den eðnai SP. To Ðdio parˆdeigma mporeð na deðxei ìti kai o algìrijmoc pou basizetai se grammikì programmatismì den eðnai SP. Oi dôo lôseic pou emfanðzontai sto parapˆnw parˆdeigma eðnai tautìqrona kai lôseic tou minisum algìrijmou. Autì upodhl nei ìti oôte o minisum eðnai SP genikˆ. Parìla autˆ mporoôme na eisagˆgoume èna aplì kanìna dieujèthshc twn isopali n, o opoðoc na antistoiqeð ènan aôxonta arijmì se kˆje upoy fio kai oi isopalðec ja dieujetoôntai epilègontac gia to telikì apotèlesma tou upoyhfðouc me ton mikrìtero arijmì. Tìte, o minisum se sunduasmì me autì ton aplì kanìna gia thn dieujèthsh twn isopali n mporeð eôkola na apodeiqjeð SP. L mma 3. O algìrijmocminisum pou qrhsimopoieð ton trìpo epðlushc isopali n pou perigrˆfthke parapˆnw eðnai SP. Apìdeixh. 'Estw ìti oi pragmatikèc protim seic twn yhfofìrwn orðzontai apì to profðl P kai èstw ìti o yhfofìroc i mporeð na qeiragwg sei to apotèlesma dhl nontac yeud c thn protðmhsh P i. 'Estw S to sônolo twn upoyhfðwn pou den egkrðnei o yhfofìroc i sto P i kai perilambˆnontai sto apotèlesma tou algorðjmou me eðsodo P. EpÐshc, èstw S to sônolo twn upoyhfðwn pou den egkrðnei o yhfofìroc i sto P i kai perilambˆnontai sto apotèlesma tou algorðjmou me èisodo (P i, P i ). Efìson o yhfofìroc i qeiragwgeð to apotèlesma isqôei ìti S \S < S\S, dhlad S\S > 0. Autì shmaðnei ìti upˆrqei ènac upoy fioc a pou egkrðnei o yhfofìroc i sto P, o opoðoc katatˆssetai metˆ touc upoyhfðouc sto S\S (wc proc tic y fouc apodìqhc), sto profil P kai prin apì touc Ðdiouc pˆli wc proc tic y fouc apodoq c sto profðl (P i, P i ). Autì den mporeð na sumbaðnei giatð o yhfofìroc i den mporeð oôte na mei sei tic y fouc apodoq c gia kˆpoion upoy fio sto sônolo S\S, oôte na aux sei touc y fouc apodoq c tou upoyhfðou a. EpÐshc axðzei na shmeiwjeð ìti h sugkekrimènh paradoq pˆnw sto pwc ja upologðzontai oi isopalðec den ephreˆzei thn apodotikìthta kata Pareto tou algorðjmou minisum. 'Olh h parapˆnw suz thsh sqetikˆ me ton minisum mporeð na sunoyisteð sthn parakˆtw prìtash. Shmei ste ìti se sôgkrish me ton k-sumpl rwma, o algìrijmoc minisum den eðnai diktatorikìc. Je rhma 3. O algìrijmoc minisum me kanìna gia dieujèthsh isopali n bˆsh tou 18

21 gia to prìblh- mikrìterou arijmoô eðnai SP kai èqei lìgo prosèggishc to polô 3 2 k+1 ma k-minimax approval. EÐnai shmantikì se autì to shmeðo na shmei soume ìti to gegonìc ìti mia diaforopoðhsh tou minisum eðnai SP deðqnei ìti to prìblhma k-minimax approval eðnai arketˆ periorismèno san perðptwsh kaj c gnwstˆ apotelèsmata deðqnoun ìti genikˆ h idiìthta stategyproofness ikanopoieðtai mìno apì diktatorikoôc algìrijmouc [9]. Sth sunèqeia parousiˆzoume èna kˆtw frˆgma gia to lìgo prosèggishc SP algorðjmwn. Parousiˆzoume sunoptikˆ to kentrikì epiqeðrhma me to akìloujo parˆdeigma me k = 1. Ac doôme thn efarmog enìc SP algìrijmou sta dôo profðl pou faðnontai ston parakˆtw pðnaka me k = 1. QwrÐc ap leia thc genikìthtac ac upojèsoume ìti a 1 eðnai to apotèlesma tou algorðjmou gia to profðl sta aristerˆ. T ra ac jewr soume to ˆllo profðl tou dexioô pðnaka. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a Pˆli to apotèlesma ja èprepe na eðnai to Ðdio alli c o pr toc yhfofìroc ja eðqe kðnhtro na allˆxei thn y fo tou apì {a 1 } se {a 1, a 2, a 3 } kai na belti sei thn apìstas tou apì to apotèlesma. Kˆti tètoio ja parabðaze to strategyproofness. H apìstash tou apotelèsmatoc apì ton yhfofìro 2 eðnai 4. H minimax lôsh dialègei ènan apì touc treic upoyhfðouc sta dexiˆ kai èqei apìstash 2 apì touc dôo yhfofìrouc. Sunep c, o lìgoc prosèggishc eðnai 2 se aut thn perðptwsh. H epèktash autoô tou epiqeir matoc gia megalôterec timèc tou k dðnei èna elafr c mikrìtero kˆtw frˆgma. Je rhma 4. Opoiosd pote SP algìrijmoc gia to prìblhma k-minimax approval èqei lìgo apìdoshc toulˆqiston 2 2 k+1. Apìdeixh. Ac jewr soume èna profðl me m 4k upoyhfðouc kai dôo yhfofìrouc 1 kai 2 pou yhfðzoun dôo sônola P 1 kai P 2 megèjouc 2k me kanèna koinì stoiqeðo metaxô touc. 'Estw K to apotèlesma enìc SP algìrijmou gia to sugkekrimèno profðl. Upojètoume ìti P 1 K k/2. T ra ac jewr soume èna profðl sto opoðo o yhfofìroc 1 yhfðzei to sônolo P 1 en o yhfofìroc 2 ta sônolo K. Ja epiqeirhmatolog soume ìti to apotèlesma tou algorðjmou ja eðnai pˆli K. Prˆgmati, an den tan ètsi ta prˆgmata kai to apotèlesma tan èna sônolo K K, o yhfofìroc 2 ja eðqe kðnhtro na yhfðsei P 2 antð gia K gia na mei sei thn apìstash thc pragmatik c protðmhs c tou apì to apotèlesma. H apìstash 19

22 twn yhfofìrwn 1 kai 2 apì apotèlesma sto deôtero profðl eðnai d(k, P 1 ) = 3k 2 K P 1 kai 0 antðstoiqa. 'Estw t ènac akèraioc tètoioc ste 3k 2 K P t 3k 2 K P AfoÔ K P 1 k/2 kai P 1 = 2k, tìte isqôei ìti t P 1 \K. AnalogisteÐte èna sônolo O megèjouc k, to opoðo apoteleðte apì touc upoyhfðouc tou sunìlou K P 1, t upoyhfðouc apì to sônolo P 1 \K kai k K P 1 t upoyhfðouc apì to sônolo K\P 1. Tìte èqoume kai d(o, K) = 2t 3k 2 K P d(o, P 1 ) = 3k 2 K P 1 2t 3k 2 K P Sunep c o lìgoc prosèggishc tou algorðjmou gia to deôtero profðl eðnai toulˆqiston 3k 2 K P 1 max {d(o, K), d(o, P 1 )} = 2 4 3k 2 K P k + 1. H teleutaða anisìthta isqôei diìti K P 1 k/ Qeirag ghsh apì omˆdec yhfofìrwn Ac perˆsoume t ra se isqurìterec ènnoiec thc antðstashc se qeirag ghsh. Gia èna sônolo ( summaqða) yhfofìrwn S, sumbolðzoume me P S tic protim seic yhfofìrwn pou den an koun sto S. Orismìc 3. 'Ena algìrijmoc R eðnai group-strategyproof (GSP) an gia opoiad pote summaqða yhfofìrwn S, kai gia opoiod pote profðl P, den upˆrqei profðl P S tou S tètoio ste : twn yhfofìrwn d(p i, R(P S, P S )) > d(p i, R(P S, P S)) gia kˆje yhfofìro i S. Dustuq c, o algìrijmoc minisum den eðnai GSP, en eðdame ìti mia ulopoðhs tou einai SP. Autì faðnetai apì to parakˆtw parˆdeigma. An upojèsoume ìti k = 3, tìte to apotèlesma pou ja epistrèfei o algìrijmoc minisum gia to pr to profðl eðnai {a 1, a 2, a 3 }. Tìte oi yhfofìroi 4, 5 kai 6 èqoun kðnhtro na allˆxoun tic protim seic touc ìpwc sto deôtero profðl kai na belti soun ìloi thn apìstash 20

23 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a twn pragmatik n touc protim sewn apì to telikì apotèlesma pou epistrèfei o minisum (pou eðnai {a 4, a 5, a 6 } se aut n thn perðptwsh). Se antðjesh o algìrijmoc k-sumpl rwma eðnai GSP. O lìgoc pðsw apì autì eðnai ìti mða summaqða pou den perilambˆnei ton diktˆtora den mporeð na ephreˆsei to apotèlesma, kai o diktˆtorac den èqei kðnhtro na summetˆsqei se opoiad pote summaqða afoô h apìstas tou apì to apotèlesma eðnai dh elˆqisth. Sth sunèqeia, parousiˆzoume mða diaforopoðhsh tou algorðjmou k-sumpl rwma o opoðoc apodeiknôetai ìti eðnai tautìqrona kai GSP kai apodotikìc katˆ Pareto. Apì to l mma 2, sumperaðnoume ìti o lìgoc prosèggishc autoô tou algorðjmou eðnai to polô 3 2. O algìrijmoc autìc qrhsimopoieð mia taxinìmhsh k+1 twn yhfofìrwn me ton diktˆtora na eðnai pr toc kaj c kai mða taxinìmhsh twn upoyhfðwn. T ra ac jewr soume èna upoy fio a san èna duadikì diˆnusma z a tètoio ste h i-ost suntetagmènh tou na eðnai 1 an o yhfofìroc i egkrðnei ton upoy fio a kai 0 se ˆllh perðptwsh. Gia kˆje upoy fio a, upologðzei èna bajmì sc(a) = n z a (i) 2 n i i=1 kai dialègei touc k upoyhfðouc me to megalôtero bajmì kai dieujeteð tic isorropðec sômfwna me thn taxinìmhsh twn upoyhfðwn. H apodotikìthta katˆ Pareto kai to strategyproofness tou algorðjmou autoô gðnontai profan apì thn akìloujh ermhneða miac ekteles c tou. Arqikˆ jewr ste ìla ta pijanˆ sônola megèjouc k san pijanˆ apotelèsmata. Anˆmesˆ touc, kratˆme autˆ pou èqoun thn Ðdia elˆqisth dunat apìstash apì ton yhfofìro 1. Sth sunèqeia apì autˆ kratˆme autˆ pou èqoun thn Ðdia elˆqisth apìstash apì ton yhfofìro 2 kai oôtw kaj' ex c. AfoÔ exetˆsoume kai ton yhfofìro n, epistrèfoume san apotèlesma èna apì ta sônola pou èqoume krat sei se autì to shmeðo. To teleutaðo apotèlesmˆ mac sqetðzetai me ènan isqurìtero orismì tou groupstrategyproofness. Orismìc 4. 'Enac algìrijmoc R eðnai isqurˆ group-strategyproof (strongly GSP) an gia 21

24 opoiad pote summaqða yhfofìrwn S, kai gia opoiodhpote profðl P, den upˆrqei profðl P S twn yhfofìrwn tou S tètoio ste: d(p i, R(P S, P S )) d(p i, R(P S, P S)) gia kˆje yhfofìro i S, me austhr anisìthta gia toulˆqiston èna apì touc yhfofìrouc tou S. H logik pðsw apì aut thn ènnoia eðnai ìti apaitoôme apì ton algìrijmo na eðnai anjektikìc enˆntia se summaqðec stic opoðec kˆpoio yhfofìroi mporeð na allˆxoun thn y fo touc me skopì na bohj soun kˆpoio ˆllo mèroc thc summaqðac, qwrðc aparaðthta na kerdðzoun kˆti gia ton eautì touc. Pareto kai thc idiìthtac group-strategyproofness. DhmiourgoÔme mia susqètish metaxô thc apodotikìthtac katˆ DeÐqnoume ìti h pr th idiìthta eðnai aparaðthth gia na egguhjoôme thn Ôparxh enìc kaloô proseggistikoô algorðjmou pou na ikanopoieð th deôterh. Fusikˆ autì mìno tou de arkeð. Gia parˆdeigma, o algorijmoc minisum eðnai apodotikìc katˆ Pareto allˆ den eðnai oôte kan GSP. Epiplèon, parathroôme ìti aut h idiìthta den eðnai aparaðthth gia na èqoume group-strategyproofness afoô upˆrqoun ulopoi seic tou algorðjmou k-sumpl rwma pou den eðnai apodotikèc katˆ Pareto. L mma 4. Opoiosd pote isqurˆ GSP algìrijmoc gia to prìblhma k-minimax approval pou èqei peperasmèno lìgo prosèggishc eðnai apodotikìc katˆ Pareto. Apìdeixh. Ac jewr soume ènan isqurˆ GSP algìrijmo me peperasmèno lìgo prosèggishc. Pr ta parathr ste ìti gia kˆje profðl sto opoðo ìloi oi yhfofìroi yhfðzoun to Ðdio sônolo K apoteloômeno apì k upoy fiouc, o algìrijmoc ja prèpei na epistrèfei to K san apotèlesma. An den isqôei kˆti tètoio tìte gia kˆpoio profðl o lìgoc prosèggishc ja gðnei ˆpeiroc. Ac upojèsoume ìti o algìrijmoc epistrèfei èna sônolo K megèjouc k gia kˆpoio profðl, to opoðo den eðnai apodotikì katˆ Pareto. Tote prèpei na upˆrqei kai kˆpoio ˆllo sônolo K, megèjouc k, tètoio ste d(k, P i ) < d(k, P i ) gia kˆpoio yhfofìro i kai d(k, P i ) d(k, P i ) gia kˆje ˆllo yhfofìro i. T ra oi yhfofìroi èqoun kðnhtro na yhfðsoun to sônolo K kai na belti soun thn apìstas touc apì to apotèlesma. Sunduˆzontac ta l mmata 1 kai 4 ftˆnoume sto sumpèrasma ìti an upˆrqei isqurˆ GSP algìrijmoc me peperasmèno lìgo prosèggishc, tìte autìc ja eðnai to polô 3 2 k+1. Autì to sumpèrasma sumplhr nete apì to akìloujo kˆtw frˆgma. Je rhma 5. Opoiosd pote isqurˆ GSP algìrijmoc gia to prìblhma k-minimax approval, èqei lìgo prosèggishc toulˆqiston 3 2 k+1. 22

25 Apìdeixh. 'Estw ìti upˆrqei ènac algìrijmoc me lìgo prosèggishc austhrˆ kalôtero apì 3 2. Ja deðxoume ìti èna tètoioc algìrijmoc eðnai qeiragwg simoc apì duo yhfofìrouc. k+1 Ac jewr soume èna profðl me 3k + 1 upoyhfðouc kai 3k + 1 yhfofìrouc sto opoðo o yhfofìroc i yhfðzei mìno ton upoy fio i. Onomˆzoume K to apotèlesma tou algorðjmou gia to sugkekrimèno profðl. 'Estw ìti i eðnai ènac yhfofìroc pou o upoy fioc pou st rixe den an kei sto K kai ac jewr soume èna ˆllo profðl sto opoðo o i yhfðzei touc 2k + 1 upoyhfðouc pou den an koun sto K. AfoÔ o algìrijmoc èqei lìgo prosèggishc austhrˆ kalôtero apì 3 2/(k + 1), to apotèlesma gia to nèo profil prèpei na perilambˆnei ènan upoy fio i pou den an kei sto K. Sunep c, oi yhfofìroi i kai i èqoun kðnhtro na na qeiragwg soun ton algìrijmo: o yhfofìroc i allˆzei thn y fo tou kai den allˆzei thn apìstash tou apì to apotèlesma, en h apìstash tou i belti netai. SunoyÐzontac, oi isqurˆ GSP algìrijmoi èqoun dôo dunatèc timèc gia lìgo prosèggishc: eðte akrib c 3 2 eðte ˆpeiro. k+1 Dustuq c, oi diktatorikoð kanìnec yhfoforðac den eðnai isqurˆ GSP ìpwc faðnetai kai sto parakˆtw parˆdeigma me k = 1. a 1 a a 1 a Ac upojèsoume ìti o yhfofìroc 1 eðnai o diktˆtorac kai to apotèlesma tou diktatorikoô kanìna eðnai to {a 1 }. Tìte, o diktˆtorac mporeð na dhl sei yeud c san monadik tou protðmhsh ton upoy fio {a 2 }. Me ton trìpo autì, h apìstash thc pragmatik c protðmhshc tou Ðdiou apì to apotèlesma den megal nei en h apìstash tou yhfofìrou 2 apì to apotèlesma mikraðnei. Autì to parˆdeigma kˆnei idiaðtera endiafèron to prìblhma thc Ôparxhc apodotik n kanìnwn yhfoforðac pou eðnai isqurˆ GSP. An tètoioi kanìnec upˆrqoun, tìte eðnai mh diktatorikoð. 23

26 24

27 Kefˆlaio 4 Suz thsh San sumpèrasma ac suzht soume thn endiafèrousa, allˆ ìqi tìso emfan ek pr thc ìyewc, sqèshc metaxô tou probl matoc k-minimax approval kai twn problhmˆtwn qwrojèthshc (facility location). Se probl mata qwrojèthshc, mac dðnontai prˆktorec (agents) pou eðnai topojethmènoi stouc kìmbouc enìc diktôou kai o skopìc eðnai na topojet soume mða egkatˆstash se èna kìmbo, ètsi ste h mègisth apìstash kˆje prˆktora apì ton kìmbo autì na elaqistopoieðtai. MporoÔme na doôme to k-minimax approval san èna prìblhma qwrojèthshc se ènan uperkôbo [7]. 'Enac uperkôboc diˆstashc m èqei 2 m kìmbouc, kajènac apì touc opoðouc antistoiqeð se èna diakritì duadikì diˆnusma. MÐa akm en nei dôo kìmbouc an ta dianôsmatˆ touc diafèroun se akrib c èna duadikì yhfeðo. Sunep c, èna stigmiìtupo tou k-minimax approval me n yhfofìrouc kai m upoy fiouc mporeð na jewrhjeð san èna stigmiìtupo tou probl matoc qwrojèthshc me n prˆktorec topojethmènouc se merikoôc kìmbouc enìc uperkôbou diˆstashc m me skopì na brejeð mða topojesða me akrib c k ˆssouc sto diˆnusmˆ thc, tètoia ste h mègisth apìstash kˆje prˆktora apì thn topojesða aut na gðnetai elˆqisth. Ektìc apì aut th sqèsh, o periorismìc pou epibˆlloume pˆnw ston eðdoc twn kìmbwn sta opoða mporeð na topojethjeð h egkatˆstash, diaforopoieð shmantikˆ to k-minimax approval apì to sônhjec prìblhma qwrojèthshc, me apotèlesma o kalôteroc gnwstìc proseggistikìc algìrijmoc gia qwrojèthsh pˆnw ston uperkôbo [8] na mhn brðskei efarmog sto dikì mac montèlo. Epiplèon, apì thn optik thc anjektikìthtac se qeirag ghsh, mia shmantik idiìthta tou probl matoc qwrojèthshc eðnai h single-peakedness twn protim sewn twn praktìrwn [1, 11], upì thn ènnoia ìti h topojesða tou prˆktora eðnai h monadik perissìtero jemit topojesða gi autìn. Aut h idiìthta den sunantˆtai sto montèlo mac kaj c mporeð na upˆrqoun pollèc topojesðec tic opoðec o prˆktorac na protimˆ. Mia sunèpeia aut c thc idiaiterìthtac eðnai ìti h idiìthta strategyproofness den uponoeð 25

28 tautìqrona kai thn idiìthta group-strategyproofness sto prìblhma k-minimax approval, se antðjesh me autì pou isqôei gia thn single-peaked protðmhsh twn praktìrwn sto prìblhma qwrojèthshc [1]. Autì to eðdame sto kefˆlaio 3.2 ìtan parathr same ìti mða parallag tou algorðjmou minisum eðnai SP allˆ ìqi GSP. H ergasða mac af nei pollˆ anoiktˆ erwt mata. 'Oson anaforˆ sthn proseggisimìthta tou probl matoc k-minimax approval, den upˆrqei gnwstì kˆtw frˆgma ston lìgo prosèggishc algorðjmwn poluwnumikoô qrìnou pèra apì ìti to prìblhma eðnai NP-dÔskolo. EÐnai endiafèron eðte na brejeð èna tètoio kˆtw frˆgma eðte na brejeð èna sq ma prosèggishc poluwnumikoô qrìnou, dhlad ènac algìrijmoc pou na mporeð na petôqei lìgo prosèggishc 1+e gia mða stajerˆ e> 0 me qrìno ektèleshc pou exartˆtai apì to 1/e. Prìodoc se opoiad pote apì tic dôo kateujônseic ja beltðwne shmantikˆ ta apotelèsmatˆ mac. Sqetikˆ me thn anjektikìthta se qeirag ghsh, h ergasða mac af nei èna qˆsma metaxô tou ˆnw frˆgmatoc kai tou kˆtw frˆgmatoc 2 sto lìgo prosèggishc SP kai GSP k+1 k+1 algorðjmwn gia to prìblmhma k-minimax approval. Epiplèon anarwtiìmaste eˆn upˆrqoun isquroð GSP algìrijmoi me peperasmèno lìgo prosèggishc ìqi. Arketèc prospˆjeièc mac kai proc tic dôo kateujônseic èpesan sto kenì. Oloklhr noume aut th suz thsh tonðzontac ìti èna pijanì ergaleðo me dunatìthta na xepernˆei touc periorismoôc twn nteterministik n algorðjmwn sqetikˆ me thn anjektikìthta se qeirag ghsh eðnai h tuqaiìthta. Pèra apì ta meionekt mata pou èqoun tètoioi algìrijmoi apì thn skopiˆ thc koinwnik c epilog c, aplˆ epiqeir mata deðqnoun ìti ta kˆtw frˆgmata pou parousiˆsthkan se aut thn ergasða mporoôn na isqôsoun sthn perðptwsh pijanotik n SP kai isqurˆ GSP algorðjmwn. Parìla autˆ, h qr sh tuqaiìthtac mporeð na odhg sei se kalôterouc lìgouc prosèggishc se sqèsh me autoôc pou epitugqˆnontai apì touc nteterministikoôc algorðjmouc pou parousiˆsame kai ja mporoôse èmmesa na odhg sei kai sto sqediasmì kalôterwn nteterministik n algorðjmwn. 26

29 BibliografÐa [1] Barberà, S.; Berga, D; and Moreno, B Individual versus group strategyproofness: When do they coincide? Journal of Economic Theory, in press. [2] Brams, S. J.; Fishburn, P. C Approval Voting, 2nd edition, Springer. [3] Brams, S. J.; Kilgour, D. M.; and Sanver, M. R A minimax procedure for electing committees. Public Choice, 132(3-4): [4] Caragiannis, I.; Kalaitzis, D.; and V. Markakis, E Approximation algorithms and mechanism design for minimax approval voting. In Proceedings of the 24th AAAI Conference on Artificial Intelligence (AAAI). [5] LeGrand, R Analysis of the minimax procedure. Technical report WUCSE , Washington University. [6] LeGrand, R.; Markakis, E.; and Mehta, A Some results on approximating the minimax solution in approval voting. In Proceedings of the 6th International Joint Conference on Autonomous Agents and Multiagent Systems (AAMAS), [7] Leighton, F.T Introduction to Parallel Algorithms and Architectures. Morgan Kaufmann Publishers,Inc. [8] Li, M.; Ma, B.; and Wang, S Finding similar regions in many strings. In Proceedings of the 31st Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC), [9] Nisan, N Introduction to mechanism design (for computer scientists). Algorithmic Game Theory, Cambridge University Press, [10] Procaccia, A. D.; and Tennenholtz, M Approximate mechanism design without money. In Proceedings of the 10th ACM Conference on Electronic Commerce (EC),

30 [11] Schummer J.; and Vohra, R. V Mechanism design without money. Algorithmic Game Theory, Cambridge University Press, [12] Vazirani, V. V Approximation algorithms. Springer. 28